Varyans Nasıl Hesaplanır? Varyans Analizi, Örnekler ve Temel Mantık

İstatistiksel analizlerin en kritik kavramlarından biri olan varyans, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını sayısal olarak ifade eder.

Araştırmalarda dağılımı anlamak, gruplar arasındaki farkları test etmek ve parametrik testlerin uygunluğunu değerlendirmek için varyans bilgisi mutlaka incelenir.

Bu yazıda varyansın neyi ölçtüğünü, nasıl hesaplandığını, nüfus–örneklem farkını ve ANOVA gibi testlerde neden bu kadar merkezi bir role sahip olduğunu sade bir dille ele alıyoruz.

Varyans ile Standart Sapma Arasındaki Temel Fark

Varyans, verilerin ortalamadan sapmalarının karesinin ortalamasıdır.

Standart sapma ise varyansın kareköküdür.

• Standart sapma → Orijinal veri birimleri ile ifade edilir (saat, kilogram, puan vb.)

• Varyans → Birimlerin karesi ile ifade edilir (saat², kg² vb.)

Bu nedenle yorumlanması standart sapmaya göre daha zordur, fakat istatistiksel çıkarım yaparken (özellikle ANOVA’da) varyansın kendisi kullanılır.

Nüfus Varyansı ve Örneklem Varyansı Arasındaki Fark

Araştırmacılar çoğu zaman tüm nüfusa ulaşamaz; bunun yerine örneklem alır ve nüfus hakkında tahminde bulunur. Bu nedenle iki farklı varyans formülü vardır.

1. Nüfus Varyansı (σ²)

Eğer tüm popülasyona ait veriler elinizdeyse:

Burada sapmaların kareleri toplamı, N’e bölünür. Bu değer tam varyansı verir.

2. Örneklem Varyansı (s²)

Gerçek hayatta neredeyse her zaman örneklemle çalıştığımız için şu formül kullanılır:

Bu formülde n yerine n–1 kullanılır, çünkü örneklem varyansı popülasyon varyansını sistematik olarak küçük tahmin eder. n–1 kullanımı, bu yanlılığı düzeltir.

Varyans Nasıl Hesaplanır? (Adım Adım)

Veri setimiz:

46, 69, 32, 60, 52, 41

1. Adım: Ortalamayı Bulun

2. Adım: Her bir değerin ortalamadan farkını hesaplayın

Örn: 46 – 50 = -4, 69 – 50 = 19, vb.

3. Adım: Bu farkların karesini alın

Negatif değerler pozitife dönüşür.

4. Adım: Karelerin hepsini toplayın

16 + 361 + 324 + 100 + 4 + 81 = 886

5. Adım: (n – 1)’e bölün

886 / 5 = 177.2

Sonuç: Örneklem varyansı = 177.2

Varyans Neden Bu Kadar Önemlidir?

1. Parametrik Testlerde Gereklidir

T-testi, ANOVA gibi testlerin çalışabilmesi için grupların varyanslarının birbirine yakın olması beklenir. Bu özelliğe:

• Varyans homojenliği

• Homoskedastisite

adı verilir.

Varyanslar çok farklıysa sonuçlar yanlı çıkar, bu durumda non-parametrik testlere geçilir.

2. Gruplar Arası Farkı Anlamanın Temeli Varyanstır

Örneğin, farklı sıklıklarda quiz yapılan öğrencilerin dönem sonu başarılarını karşılaştığınız bir araştırma yaptığınızı düşünelim:

• Grup A: Haftada 1 quiz

• Grup B: 3 haftada 1 quiz

• Grup C: 6 haftada 1 quiz

Bu üç grubun ortalama başarı puanları arasındaki farkın gerçekten "quiz sıklığından" kaynaklanıp kaynaklanmadığını anlamak için ANOVA yapılır.

ANOVA’nın mantığı çok basittir:

• Gruplar arası varyans yüksekse → uyguladığınız işlemin etkisi vardır.

• Gruplar içi varyans yüksekse → farklar kişisel değişkenlikten kaynaklanır.

ANOVA bu iki varyansı oranlayarak F istatistiğini üretir.

Büyük bir F değeri → gruplar arasında anlamlı fark var. Küçük bir F → gruplar benzer.

Varyansın Araştırma Açısından Önemi

• Dağılımın geniş mi dar mı olduğunu gösterir.

• Ölçümlerin tutarlılığını yorumlamamızı sağlar.

• Parametrik testlerin ön şartıdır.

• Gruplar arasındaki farkların istatistiksel anlamlılığı varyansa dayanır.

• Regresyon, korelasyon ve ANOVA gibi analizlerin matematiksel omurgasıdır.

Kısacası, varyans bir araştırmanın "gizli iskeleti" gibidir. Ortalama ne söylüyorsa, varyans onun ne kadar güvenilir olduğunu gösterir.