T-Dağılımı (Student’s t-Distribution): Küçük Örneklemler İçin Güçlü Bir İstatistiksel Araç

T-dağılımı, özellikle küçük örneklemlerle çalışırken ve popülasyon varyansı bilinmediğinde kullanılan özel bir olasılık dağılımıdır. Şekil olarak normal dağılıma benzese de, kuyrukları daha geniştir ve uç değerlere daha fazla olasılık tanır.

Bu özellik, küçük örneklemlerde belirsizliğin daha yüksek olmasını doğru bir şekilde yansıtır.

İstatistiksel analizlerde t-dağılımı en çok güven aralıklarını hesaplamak ve t-testlerinde p-değerlerini bulmak için kullanılır.

T-Dağılımı Nedir?

T-dağılımı, normal dağılıma benzeyen çan eğrili bir dağılımdır ancak iki önemli farklılığı vardır:

• Popülasyon varyansı bilinmediğinde (σ² bilinmiyorsa) kullanılır.

• Örneklem sayısı küçüldükçe dağılımın kuyrukları kalınlaşır (daha temkinli sonuçlar üretir).

Dağılımın şekli, serbestlik derecesine (df = n–1) bağlıdır. Serbestlik derecesi arttıkça t-dağılımı normal dağılıma yaklaşır.

T-Dağılımı Neden Kullanılır?

T-dağılımı özellikle şu durumlar için idealdir:

• Örneklem küçüktür (n < 30)

• Popülasyon varyansı bilinmemektedir

• Veri yaklaşık normal dağılmaktadır

Bu durumlarda z-dağılımı kullanmak çok daha dar güven aralıkları verir ve yanlı olur. T-dağılımı ise daha temkinli, daha geniş aralıklar üretir.

T-Dağılımı ve Z-Dağılımı Arasındaki Fark

Özellik	t-Dağılımı	z-Dağılımı
Popülasyon varyansı	Bilinmiyor	Biliniyor
Örneklem büyüklüğü	Küçük (n<30)	Büyük (n≥30)
Kuyruk kalınlığı	Daha geniş	Daha dar
Serbestlik derecesine bağlı mı?	Evet	Hayır

Örnek:

20 kişilik bir öğrenciden alınan test puanı verisinde güven aralığı hesaplanacaksa t-dağılımı kullanılmalıdır. Z-dağılımı kullanmak aşırı güvenli görünse de gerçekte hatalı bir hassasiyet sunar.

Serbestlik Derecesi (Degrees of Freedom - df)

T-dağılımının şekli df = n − 1 formülüyle belirlenir.

• df küçükse: Dağılım geniştir, kuyruklar kalındır.

• df büyüdükçe: Dağılım normal dağılıma yaklaşır.

Genel kabul: df ≥ 30 olduğunda t-dağılımı neredeyse z-dağılımıyla aynıdır.

T-Skoru (t-Score) Nedir?

T-skoru, bir gözlemin veya test istatistiğinin, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu ifade eder.

T-skoru şu alanlarda kullanılır:

• Güven aralıklarının alt ve üst sınırını belirlemek

• Hipotez testlerinde p-değerini bulmak

• Regresyon katsayılarının anlamlılığını test etmek

T-Skoru ve Güven Aralıkları

Bir güven aralığı hesaplanırken kritik t değeri (t**) kullanılır.

Örnek:

20 öğrencinin test puanlarını karşılaştırdığını düşün.

İki sınıf arasındaki ortalama fark: 4.6195% güven aralığı: 3.87 ile 5.35

Aralık 0’ı içermediği için:

• Gerçek ortalama farkın 0 olmadığı

• Sınıflar arasında anlamlı bir fark bulunduğu

söylenebilir.

Bu çıkarım tamamen t-dağılımına dayanan kritik değerler kullanılarak yapılır.

Tez Danışmanlığı

G*Power Güç Analizi & Örneklem Hesaplama

TRY 749.00

Hizmeti Satın Al

T-Skoru ve P-Değeri

T-testleri ve regresyon analizlerinde hesaplanan test istatistiği t-skorudur.

Daha sonra:

• t-skoru

• serbestlik derecesi (df)

kullanılarak p-değeri hesaplanır.

Örnek:

t = 12.79, df = 38 olsun.

T-tablosundan veya bir istatistik yazılımından bakıldığında:

p < 0.001

Bu, iki grup arasındaki farkın şans eseri ortaya çıkma olasılığının çok düşük olduğunu gösterir.

T-Dağılımının Kullanıldığı Testler

T-dağılımı şu istatistiksel testlerde temel bileşen olarak yer alır:

• Tek örneklem t-testi

• Bağımsız örneklemler t-testi

• Eşleştirilmiş t-testi

• Basit ve çoklu regresyon analizleri (katsayı testleri t-istatistiği ile yapılır)

• Güven aralığı hesaplamaları

Sıkça Sorulan Sorular: T-Dağılımı (Student’s t-distribution)

T-dağılımı nedir?

T-dağılımı, gözlemlerin büyük çoğunluğunun ortalama etrafında toplandığı, uçlarda ise daha az sayıda gözlem bulunan çan eğrisi şeklindeki bir dağılımdır.

Küçük örneklemlerde (özellikle n < 30) ve popülasyon varyansı bilinmediğinde kullanılır. T-dağılımı, normal dağılıma benzese de daha geniş kuyruklara sahiptir.

T-dağılımı ile standart normal dağılım arasındaki fark nedir?

• T-dağılımı, uç bölgelerde daha fazla olasılık içerir → daha temkinlidir (konservatif).

• Z-dağılımı (standart normal), popülasyon varyansının bilindiği veya örneklemin çok büyük olduğu durumlarda kullanılır.

• Küçük örneklemlerde z-dağılımı kullanmak güven aralıklarını fazla dar gösterir; bu nedenle t-dağılımı tercih edilir.

T-skoru (t-score) nedir?

T-puanı, bir değerin dağılım ortalamasından kaç standart sapma uzakta olduğunu ifade eden istatistiksel bir ölçüdür.

Aynı zamanda:

• t-testlerinde test istatistiğidir,

• p-değeri hesaplamalarında ve

• güven aralığı kritik değerlerinde (t)* kullanılır.