T Dağılımı: Nedir, Ne İşe Yarar ve İstatistiksel Analizlerde Nasıl Kullanılır?

T Dağılımının Genel Yapısı

T dağılımı, grafiğe aktarıldığında çan şeklini izleyen ve gözlemlerin çoğunun ortalamaya yakın, uçlarda ise daha seyrek olduğu bir veri dağılımını tanımlar. Bu dağılım, özellikle örneklem büyüklüğünün küçük olduğu durumlarda ve varyansın bilinmediği veri yapılarında kullanılır.

Normal dağılıma benzeyen bir form gösterse de daha temkinli bir olasılık dağılımı sunar. Merkezdeki olasılığı azaltırken uçlara verilen olasılığı artırarak küçük örneklemlerdeki belirsizliği daha gerçekçi şekilde modeller.

T dağılımı, verilerin yaklaşık olarak normal yapı gösterdiği fakat varyans bilgisinin doğrudan elde edilemediği durumlarda tercih edilir. Varyans, serbestlik derecesine göre tahmin edildiği için dağılımın biçimi örneklem büyüklüğüne duyarlıdır.

T Dağılımının Kullanıldığı Durumlar

T dağılımı istatistikte iki önemli amaç için kullanılır:

✔ Güven Aralığı İçin Kritik Değerleri Bulma

Veriler yaklaşık olarak normal dağılmışsa ve varyans bilinmiyorsa, güven aralığının üst ve alt sınırlarını belirlemek için t dağılımı kullanılır.

✔ T Skoruna Karşılık Gelen P Değerini Bulma

T testi ve regresyon analizinde kullanılan test istatistikleri t dağılımına dayanır. Bu testlerde hesaplanan t skorunun p değerine ulaşmak için t dağılımı tablosuna veya istatistiksel bir araca başvurulur.

T Dağılımının Normal Dağılımla İlişkisi

T dağılımı, standart normal dağılıma göre daha geniş bir kuyruk yapısına sahiptir. Bu nedenle küçük örneklemlerde merkezdeki olasılığı azaltıp uçlardaki olasılığı artırır.

Serbestlik derecesi arttıkça:

• T dağılımı standart normal dağılıma yaklaşır,

• 30’un üzerindeki serbestlik derecelerinde iki dağılım neredeyse aynı hale gelir.

Normal dağılım varyansı bilinen bir dağılım olduğu için büyük örneklemlerde daha hassas tahmin sağlar. T dağılımında ise varyans serbestlik derecesi ile tahmin edilmek zorundadır.

T Dağılımı ve Serbestlik Derecesi

Serbestlik derecesi, toplam gözlem sayısından 1 çıkarılarak bulunur. Serbestlik derecesi arttıkça t dağılımı daralır ve standart normal dağılım ile hemen hemen aynı formu alır. Bu ilişki küçük örneklemlerde t dağılımının kullanılmasını zorunlu kılar.

Örnek: T Dağılımı – Standart Normal Dağılım Karşılaştırması

Bir örneklemde 20 öğrencinin ortalama test puanını tahmin etmek istediğinde t dağılımı kullanılmalıdır.

Bu durumda standart normal dağılım kullanılırsa:

• Güven aralığı gereğinden fazla dar çıkar,

• Örneklem büyüklüğü küçük olduğu için tahmin hatalı derecede hassas görünür.

Bu nedenle küçük örneklem yapılarında standart normal dağılım yerine t dağılımı tercih edilir.

T Skoru ve İstatistiksel Anlamı

Bir t skoru, bir gözlemin ortalamadan kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu gösterir. Tablolardan ya da hesaplayıcılardan kolaylıkla bulunabilir. T skorları istatistiksel analizde iki amaçla kullanılır:

• Güven aralığının üst ve alt sınırlarını belirlemek,

• T testleri ile regresyon analizlerinde p değerini hesaplamak.

T Skoru ile Güven Aralığı Oluşturma

Güven aralığında kullanılan kritik değer t skorudur. Bu değer güven aralığının alt ve üst sınırlarını oluşturur.

🎓 Örnek

İki ayrı sınıftan 20’şer öğrencinin test puanlarını karşılaştırmak için iki yönlü t testi uygulanmıştır.

Elde edilen sonuçlar:

• Ortalama fark: 4.61

• %95 güven aralığı: 3.87 – 5.35

Bu güven aralığı sıfırı içermediği gibi sıfırdan oldukça uzaktadır. Bu durum, iki sınıfın test puanları arasında fark olmadığı varsayımı altında böyle bir sonucun görülme ihtimalinin düşük olduğunu gösterir.

T Skoru ve P Değeri Hesaplama

Bir istatistiksel test, verilerin sıfır hipotezinden ne kadar uzak olduğunu gösteren bir test istatistiği üretir. T testlerinde ve regresyon analizlerinde bu değer t skorudur. P değerini bulmak için:

• T skoru,

• Serbestlik derecesi

kullanılarak t tablosuna bakılabilir.

Kritik t değeri, p değerinin belirlenen anlamlılık düzeyinin altına düştüğü t skorudur.

🎯 Örnek

İki yönlü t testinde elde edilen t değeri 12.79’dur.

Bu skor:

• Ortalama farkın sıfır varsayımının dağılımından 12.79 standart sapma uzaklıkta olduğunu gösterir.

• Serbestlik derecesi 38 olarak hesaplanmıştır (her grup için n−1).

• T tablosunda bu değer için p değeri < 0.001 bulunur.

Bu bulgu, gerçek farkın sıfır olduğu bir durumda böyle büyük bir fark görme olasılığının çok düşük olduğunu gösterir.

Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

T dağılımı nedir?

T dağılımı, gözlemlerin büyük kısmının ortalamaya yakın toplandığı, geri kalanının ise iki tarafta kuyrukları oluşturduğu bir dağılımı tanımlar. Küçük örneklem büyüklüklerinde ve varyansın bilinmediği durumlarda kullanılan bir normal dağılım türüdür. Grafik üzerinde çan şeklinde bir yapıya sahiptir ve ortalama ile standart sapma kullanılarak matematiksel olarak ifade edilebilir.

T dağılımı ile standart normal dağılım arasındaki fark nedir?

T dağılımı, standart normal dağılıma göre uç değerlere daha fazla olasılık verir. Bu nedenle daha temkinli bir dağılımdır. Aynı güven düzeyine veya istatistiksel anlamlılık seviyesine ulaşmak için daha geniş bir aralık gerektirir.

T skoru nedir?

T skoru, bir gözlemin t dağılımında ortalamadan kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu gösterir. T testlerinde ve regresyon analizlerinde kullanılan test istatistiğidir. Ayrıca t dağılımını izleyen verilerde bir gözlemin ortalamaya olan uzaklığını tanımlamak için de kullanılır.