Standart Sapma Nasıl Hesaplanır? | Tanım, Mantık ve Örneklerle Açıklama

Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren en önemli değişkenlik ölçülerinden biridir. Başka bir ifadeyle, değerlerin ortalamadan ortalama uzaklığıdır.

Eğer bir veri setinde değerler birbirine yakınsa standart sapma düşüktür; değerler daha dağınık ve birbirinden uzaksa standart sapma yüksektir.

Bu ölçü özellikle normal dağılımlar için çok bilgilendiricidir ve psikoloji, eğitim bilimleri, sağlık araştırmaları, mühendislik ve ekonomide yaygın olarak kullanılır.

Standart Sapma Ne Anlatır?

Standart sapma, bir dağılımın ne kadar yaygın olduğunu gösterir:

• Düşük standart sapma: Değerler merkezin etrafında toplanmıştır, varyasyon azdır.

• Yüksek standart sapma: Değerler geniş bir alana yayılmıştır, varyasyon fazladır.

Aşağıdaki örnekte üç veri grubunun ortalaması aynı olsa da standart sapmaları farklıdır.

Standart sapma büyüdükçe eğri yayılır; standart sapma küçüldükçe eğri daralır ve tepe noktası yükselir.

Bu nedenle standart sapma, ortalama tek başına yeterli olmadığında dağılımı daha doğru yorumlamamızı sağlar.

Ampirik Kural (68–95–99.7 Kuralı)

Normal dağılımlarda standart sapma, verilerin büyük çoğunluğunun hangi aralıkta olduğunu tahmin etmemizi sağlar:

• %68 → değerler ortalamanın ±1 standart sapması içindedir

• %95 → değerler ortalamanın ±2 standart sapması içindedir

• %99.7 → değerler ortalamanın ±3 standart sapması içindedir

Örnek

Bir test sonucunun ortalaması 50, standart sapması 10 olsun:

• %68 değer → 40 ile 60 arasında

• %95 değer → 30 ile 70 arasında

• %99.7 değer → 20 ile 80 arasında yer alır

Bu kural, aşırı uç değerlerin tespitinde de çok yararlıdır.

Standart Sapma Formülleri

Standart sapma, verilerin tüm popülasyona mı yoksa bir örnekleme mi ait olduğuna göre iki şekilde hesaplanır:

1. Popülasyon Standart Sapması (σ)

Tüm popülasyon biliniyorsa:

2. Örneklem Standart Sapması (s)

Bir örnek üzerinden hesap yapılıyorsa:

Neden n−1 kullanılır?

Çünkü örneklem, popülasyonu temsil etmeye çalışır ve gerçek varyasyonu genellikle azımsar.n−1, bu yanlılığı azaltır ve daha gerçekçi bir tahmin sağlar.

Tez Danışmanlığı

SPSS Veri Analizi

Hizmeti İncele

Standart Sapma Nasıl Hesaplanır? (Adım Adım)

Aşağıdaki 6 değerlik veri setini ele alalım:

46, 69, 32, 60, 52, 41

1. Adım: Ortalama bulunur

(46 + 69 + 32 + 60 + 52 + 41) / 6 = 50

2. Adım: Her değerin ortalamadan sapması bulunur

Değer	Sapma (X − 50)
46	-4
69	19
32	-18
60	10
52	2
41	-9

3. Adım: Sapmaların karesi alınır

Sapma	Karesi
-4	16
19	361
-18	324
10	100
2	4
-9	81

4. Adım: Karelerin toplamı alınır

16 + 361 + 324 + 100 + 4 + 81 = 886

5. Adım: Varyans hesaplanır

Örneklem olduğu için n−1 kullanılır:

886 /5 = 177.2

6. Adım: Standart sapma bulunur

Bu veri setinde değerler ortalamadan yaklaşık 13.31 puan uzaklaşmaktadır.

Standart Sapmanın Kullanışlılığı

Standart sapma, daha basit bir ölçü olan mutlak ortalama sapmaya (MAD) göre daha hassas bir değişkenlik ölçüsüdür.

Çünkü kare alma işlemi, büyük sapmaların diğerlerine göre daha fazla ağırlık kazanmasını sağlar.

Örnek

A ve B örneklemleri aynı ortalamaya ve aynı MAD değerine sahip olsa bile, standart sapma yüksek olan örneklem çok daha dağınık bir yapıya sahiptir.

Bu nedenle standart sapma:

• dağılımdaki dengesiz yayılmayı gösterir,

• değerlerin tutarlılık düzeyini anlamayı sağlar,

• karşılaştırmalı analizlerde vazgeçilmezdir.

Tek dezavantajı, aşırı uç değerlere karşı duyarlı olmasıdır.

Standart Sapmayı Ne Zaman Kullanmalısınız?

Standart sapma:

• normal dağılımlarda,

• tamamı sayısal verilerde,

• dağılımları karşılaştırırken,

• yayılımın hassas şekilde ölçülmesi gerektiğinde

en güçlü ve en doğru değişkenlik ölçülerinden biridir.

Ancak veri çok çarpıksa veya uç değerler fazlaysa, tek başına yorum yapmak yanıltıcı olabilir. Bu durumlarda standart sapma mutlaka IQR ve medyan gibi diğer istatistiklerle birlikte ele alınmalıdır.

Sıkça Sorulan Sorular (SSS) – Standart Sapma ve Değişkenlik

1. Dört temel değişkenlik ölçüsü nelerdir?

Değişkenlik en sık şu dört betimsel istatistikle değerlendirilir:

• Range (Genişlik): En yüksek ve en düşük değer arasındaki fark

• Interquartile Range (IQR): Dağılımın orta yarısının aralığı

• Standart Sapma: Değerlerin ortalamadan ortalama uzaklığı

• Varyans: Ortalamadan sapmaların karelerinin ortalaması

2. Standart sapma bize neyi anlatır?

Standart sapma, veri setindeki ortalama değişkenliği gösterir.

• Yüksek standart sapma: Değerler ortalamadan uzak, yaygın

• Düşük standart sapma: Değerler ortalamaya yakın, kümelenmiş

Bu ilişki özellikle normal dağılım varsayıldığında geçerlidir.

3. Normal dağılım nedir?

Normal dağılım, verilerin simetrik bir şekilde merkezde yoğunlaştığı, uçlara doğru azaldığı dağılımdır.

Bu dağılımda:

• Ortalamanın iki yanında simetri vardır

• Kuyruklar eşittir

• Ortalama = Ortanca = Mod

4. Ampirik Kural nedir?

Ampirik Kural (68–95–99.7 kuralı), normal dağılımdaki değerlerin ortalamaya olan uzaklıklarını özetler:

• %68’i → 1 standart sapma içinde

• %95’i → 2 standart sapma içinde

• %99.7’si → 3 standart sapma içinde

Bu kural, veri setinde aykırı değer olup olmadığını hızlıca görmeye yardımcı olur.

5. Standart sapma ile varyans arasındaki fark nedir?

• Varyans: Ortalamadan sapmaların karelerinin ortalaması

• Standart sapma: Varyansın karekökü

Temel fark birimlerdir:

• Standart sapma → Orijinal ölçü birimiyle ifade edilir (ör. dakika, metre)

• Varyans → Kareli ölçü birimindedir (ör. dakika², metre²)

Varyans yorumlaması daha zor olsa da istatistiksel testlerde (ör. ANOVA) kritik öneme sahiptir.