Poisson Dağılımı: Tanım, Formül ve Örneklerle Kapsamlı Açıklama

Poisson dağılımı, belirli bir zaman ya da alan aralığında bir olayın kaç kez gerçekleştiğini modelleyen ayrık bir olasılık dağılımıdır. Olaylar rastgele ve birbirinden bağımsız gerçekleşiyorsa, ve belirli bir aralık için ortalama olay sayısı biliniyorsa, Poisson dağılımı bu olayların olasılık yapısını başarılı şekilde açıklar.

Dağılımın tek parametresi vardır: λ (lambda). Bu değer hem beklenen olay sayısını (ortalama) hem de varyansı temsil eder. Bu özellik Poisson dağılımını diğer dağılımlardan ayırır.

Poisson Dağılımı Nedir?

Poisson dağılımı, meydana gelen olay sayısının (k) kesikli olduğu durumlarda kullanılır. Bu olaylar:

• Sayılabilir olmalıdır (0, 1, 2, 3… gibi),

• Rastgele gerçekleşmelidir,

• Birbirinden bağımsız olmalıdır,

• Belirli aralık için sabit bir ortalamaya sahip olmalıdır (λ sabittir).

Olay kavramı çok geniştir.

Örneğin:

• Bir saat içinde kaç mesaj geldiği,

• Bir ay içinde bir makinede kaç arıza olduğu,

• Bir yıl içinde kaç grip vakası görüldüğü,

• Bir web sitesini bir günde kaç kişinin ziyaret ettiği.

Bu örneklerin ortak özelliği: Hepsi sayılabilir olaylar ve gerçekleşme sıklıkları için ortalama (λ) belirlenebiliyor.

Poisson Dağılımının Tarihsel Bir Örneği: At Tekmesi Ölümleri

Poisson dağılımının klasik örneklerinden biri, Ladislaus Bortkiewicz'in 1800'lerin sonlarında yaptığı çalışmadır.

Prusya ordusunda at tekmesi sonucu ölümler incelenmiş ve:

• 20 yılda 10 birlik gözlemlenmiştir (toplam 200 birlik-yıl),

• Birlik başına yıllık ortalama ölüm sayısı λ = 0.61 olarak hesaplanmıştır,

• Çoğu yıl 0 ölüm görülmüş, nadiren 1, daha nadiren 2 veya daha fazla ölüm kaydedilmiştir.

Bu örnek, tesadüfi ve bağımsız olayların Poisson yapısına ne kadar uygun olduğunu göstermektedir.

Tez Danışmanlığı

SPSS Analizi & Görselleştirilmiş Rapor

Hizmeti Satın Al

Poisson Dağılımının Genel Özellikleri

1. Tek Parametreli Dağılım

• Ortalama = λ

• Varyans = λ

Bu, birçok istatistiksel dağılımdan farklı olarak, ortalama ile varyansın eşit olması anlamına gelir.

2. Sağa Çarpık Dağılım

λ küçük olduğunda dağılım:

• Sağa uzun bir kuyruk yapar,

• Mod (en olası değer) düşüktür,

• 0 ve 1 değerleri baskındır.

λ büyüdükçe:

• Dağılım normale yaklaşır,

• Çarpıklık azalır,

• Mod λ veya λ – 1 olur.

Genel kural:

λ ≥ 10 olduğunda Poisson dağılımı yaklaşık normal dağılım gibi kabul edilebilir.

Poisson Olasılık Formülü

Bir olayın belirli bir aralıkta k kez gerçekleşme olasılığı

Burada:

• X: Poisson dağılımını izleyen rastgele değişken,

• k: olay sayısı,

• e: Euler sayısı (≈ 2.718),

• λ: ortalama olay sayısı.

Adım Adım Örnek: Prusya Ordusunda At Tekmesi Ölümleri

Soru: Bir Prusya birlik yılındaki ortalama ölüm λ = 0.61 ise, tam olarak 2 ölüm görülme olasılığı nedir?

Veriler:

• λ = 0.61

• k = 2

Hesaplama:

Sonuç:

Bir yılda birliğin tam olarak 2 asker kaybetme olasılığı %10.1’dir.

Poisson Dağılımının Kullanım Alanları

Poisson dağılımı aşağıdaki veri türleri için oldukça uygundur:

1. Belirli zaman aralığında olay sayısı

• Bir saat içinde gelen çağrı sayısı

• Günlük web sitesi ziyaretçileri

2. Belirli bir alandaki olay sayısı

• Hektar başına ayı sayısı

• Belirli bir alanda böcek sayımı

3. Arıza ve hata sayıları

• Yılda makina arızaları

• Üretimde hata (defect) sayıları

4. Sağlık ve epidemiyoloji

• Bir yıldaki hastalık vakaları

• Aylık acil servis başvuruları

Poisson Dağılımının Grafiksel Gösterimi

Poisson dağılımı bir olasılık kütle fonksiyonu (PMF) ile gösterilir. Grafik:

• Dikey eksen: Olasılık

• Yatay eksen: Olay sayısı (k)

• Tepe noktası: Mod (en sık görülen olay sayısı)

λ büyüdükçe grafik:

• Daha simetrik olur,

• Normal dağılıma yaklaşır.

Sıkça Sorulan Sorular (SSS) – Poisson Dağılımları

1. Poisson dağılımı formülündeki “e” ne anlama gelir?

Poisson dağılımı formülünde yer alan e, yaklaşık olarak 2.718 değerine sahip olan Euler sabitidir. Hesaplama yaparken doğrudan 2.718 olarak kullanılabilir.

Euler sabiti matematikte özellikle türev–integral hesaplamalarında önemli bir sayıdır.

2. Poisson dağılımı formülündeki lambda (λ) neyi ifade eder?

Poisson formülünde λ (lambda), belirli bir zaman veya alan aralığındaki ortalama olay sayısını ifade eder.

Örneğin:

λ = 0.748 → yılda ortalama 0.748 sel meydana gelir.

Poisson dağılımında λ aynı zamanda dağılımın ortalaması ve varyansı ile aynıdır.

3. Normal dağılım ile Poisson dağılımı arasındaki fark nedir?

Aşağıdaki tablo iki dağılım arasındaki temel farkları özetler:

Özellik	Normal Dağılım	Poisson Dağılımı
Dağılım türü	Sürekli	Kesikli
Parametre	Ortalama (µ) ve Standart Sapma (σ)	Lambda (λ)
Şekil	Çan eğrisi (simetrik)	Sağ çarpık, λ büyüdükçe simetrikleşir
Değer aralığı	−∞ ile +∞	0 ile +∞
Kullanım durumu	Sürekli veriler	Olay sayısı (count) verileri

Not: λ ≥ 10 olduğunda Poisson dağılımı normal dağılımla oldukça iyi şekilde yaklaşır.

4. Normal dağılım nedir?

Normal dağılımda veriler simetrik, çan şeklinde bir yapı oluşturur.

• Değerlerin büyük kısmı merkezde toplanır.

• Merkezden uzaklaştıkça gözlemler azalır.

• Aritmetik ortalama, medyan ve mod birbirine eşittir.

Normal dağılım, istatistiksel testlerde en fazla kullanılan dağılımdır.